Matrices y Vectores en R

Documento: De operaciones básicas con matrices y vectores para el análisis estadístico.
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Multiplicación de una matriz por otra matriz

Dadas dos matrices \(A \ y \ B\), tales que el número de columnas de la matriz \(A\) es igual al número de filas de la matriz \(B\) es decir:

\(A:= (a_{ij})_{m_{x}n} \ y \ B:= (b_{ij})_{n_{x}p}\) la multiplicación de \(A \ por \ B\), que se denota \(A\cdot B,A \times B, A\circ B\) o simplemente \(AB\)

El resultado del producto es una nueva matriz \(C = AB\)

\[A\cdot B = \left( \begin{array}{lcr} 1\cdot4 + 2\cdot0 + 3\cdot1 + 4\cdot0 & 1\cdot3 + 2\cdot3 + 3\cdot2 + 4\cdot1 & 1\cdot2 + 2\cdot0 + 3\cdot3 + 4\cdot0 & 1\cdot1 + 2\cdot4 + 3\cdot4 + 4\cdot2\\ 4\cdot4 + 3\cdot0 + 2\cdot1 + 1\cdot0 & 4\cdot3 + 3\cdot3 + 2\cdot2 + 1\cdot1 & 4\cdot2 + 3\cdot0 + 2\cdot3 + 1\cdot0 & 4\cdot1 + 3\cdot4 + 2\cdot4 + 1\cdot2\\ 0\cdot4 + 1\cdot0 + 0\cdot1 + 2\cdot0 & 0\cdot3 + 1\cdot3 + 0\cdot2 + 2\cdot1 & 0\cdot2 + 1\cdot0 + 0\cdot3 + 2\cdot0 & 0\cdot1 + 1\cdot4 + 0\cdot4 + 2\cdot2\\ 3\cdot4 + 0\cdot0 + 4\cdot1 + 0\cdot0 & 3\cdot3 + 0\cdot3 + 4\cdot2 + 0\cdot1 & 3\cdot2 + 0\cdot0 + 4\cdot3 + 0\cdot0 & 3\cdot1 + 0\cdot4 + 4\cdot4 + 0\cdot2\\ \end{array} \right)\]

\[C \ = AB\left( \begin{array}{lcr} 7 & 19 & 11 & 29 \\ 18 & 26 & 14 & 26 \\ 0 & 5 & 0 & 8 \\ 16 & 17 & 18 & 19 \\ \end{array} \right)\]

\[C=AB:=(c_{ij})_{m_xp} \ \ donde \ cada \ elemento \ c_{ij} \ está \ definido \ por: \ c_{ij}= \sum_{r=1}^{n}a_{ir}b_{rj}\]

A=matrix(nrow=4,ncol=4, c(1,2,3,4,4,3,2,1,0,1,0,2,3,0,4,0),byrow=TRUE)#Matriz A
B=matrix(nrow=4,ncol=4, c(4,3,2,1,0,3,0,4,1,2,3,4,0,1,0,2),byrow=TRUE)#Matriz B
A%*%B#(AxB)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    7   19   11   29
## [2,]   18   26   14   26
## [3,]    0    5    0    8
## [4,]   16   17   18   19

Conmutativa en B x A

El producto de dos matrices no es conmutativo:

\[B\cdot A = \left( \begin{array}{lcr} {4\cdot1 + 3\cdot4 + 2\cdot0 + 1\cdot3} & {4\cdot2 + 3\cdot3 + 2\cdot1 + 1\cdot0} & {4\cdot3 + 3\cdot2 + 2\cdot0 + 1\cdot4} & {4\cdot4 + 3\cdot1 + 2\cdot2 + 1\cdot0}\\ {0\cdot1 + 3\cdot4 + 0\cdot0 + 4\cdot3} & {0\cdot2 + 3\cdot3 + 0\cdot1 + 4\cdot0} & {0\cdot3 + 3\cdot2 + 0\cdot0 + 4\cdot4} & {0\cdot4 + 3\cdot1 + 0\cdot2 + 4\cdot0}\\ {1\cdot1 + 2\cdot4 + 3\cdot0 + 4\cdot3} & {1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot1 + 4\cdot0} & {1\cdot3 + 2\cdot2 + 3\cdot0 + 4\cdot4} & {1\cdot4 + 2\cdot1 + 3\cdot2 + 4\cdot0}\\ {0\cdot1 + 1\cdot4 + 0\cdot0 + 2\cdot3} & {0\cdot2 + 1\cdot3 + 0\cdot1 + 2\cdot0} & {0\cdot3 + 1\cdot2 + 0\cdot0 + 2\cdot4} & {0\cdot4 + 1\cdot1 + 0\cdot2 + 2\cdot0}\\ \end{array} \right)\]

\[\left( \begin{array}{lcr} 7 & 19 & 11 & 29 \\ 18 & 26 & 14 & 26 \\ 0 & 5 & 0 & 8 \\ 16 & 17 & 18 & 19 \\ \end{array} \right)= AB ≠ BA =\left( \begin{array}{lcr} 19 & 19 & 22 & 23 \\ 24 & 9 & 22 & 3 \\ 21 & 11 & 23 & 12 \\ 10 & 3 & 10 & 1 \\ \end{array} \right)\]

\[Es \ decir, \ AB \ es \ distinto \ de \ BA\]

A=matrix(nrow=4,ncol=4, c(1,2,3,4,4,3,2,1,0,1,0,2,3,0,4,0),byrow=TRUE)#Matriz A
B=matrix(nrow=4,ncol=4, c(4,3,2,1,0,3,0,4,1,2,3,4,0,1,0,2),byrow=TRUE)#Matriz B
B%*%A#(BxA)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]   19   19   22   23
## [2,]   24    9   22    3
## [3,]   21   11   23   12
## [4,]   10    3   10    1

Traspuesta de (A x B)

Sea A una matriz con m filas y n columnas. La matriz traspuesta, denotada con \((A\cdot B)^{t}\)

Está dada por : \((A_{ij}\cdot B_{ij})^{t}= AB_{ji}, 1\leq i \leq n, 1 \leq j \leq m\)

\[AB = \left( \begin{array}{lcr} 7 & 19 & 11 & 29 \\ 18 & 26 & 14 & 26 \\ 0 & 5 & 0 & 8 \\ 16 & 17 & 18 & 19 \\ \end{array} \right) (A\cdot B)^{t} =\left( \begin{array}{lcr} 7 & 18 & 0 & 16 \\ 19 & 26 & 5 & 17 \\ 11 & 14 & 0 & 18 \\ 29 & 26 & 8 & 19 \\ \end{array} \right)\]

El elemento \(ab_{ji}\) de la matriz original \(AB\) se convertirá en el elemento \(ab_{ij}\) de la matriz traspuesta \((AB)^{t}.\)

A=matrix(nrow=4,ncol=4, c(1,2,3,4,4,3,2,1,0,1,0,2,3,0,4,0),byrow=TRUE)#Matriz A
B=matrix(nrow=4,ncol=4, c(4,3,2,1,0,3,0,4,1,2,3,4,0,1,0,2),byrow=TRUE)#Matriz B
t(A%*%B)#Traspuesta de (AxB)

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    7   18    0   16
## [2,]   19   26    5   17
## [3,]   11   14    0   18
## [4,]   29   26    8   19

Traspuesta de (B) x A

Sea A una matriz con m filas y n columnas. La matriz traspuesta, denotada con \((B)^{t}\)

Está dada por : \((B_{ij})^{t}= B_{ji}, 1\leq i \leq n, 1 \leq j \leq m\)

\[B = \left( \begin{array}{lcr} 4 & 3 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ \end{array} \right) (B)^{t} =\left( \begin{array}{lcr} 4 & 0 & 1 & 0\\ 3 & 3 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 3 & 0\\ 1 & 4 & 4 & 2\\ \end{array} \right) (B)^{t}\cdot A =\left( \begin{array}{lcr} 4 & 0 & 3 & 0\\ 12 & 9 & 4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 3 & 0 & 16 & 0\\ \end{array} \right)\]

El elemento \(b_{ji}\) de la matriz original \(B\) se convertirá en el elemento \(b_{ij}\) de la matriz traspuesta \((B)^{t}\cdot A\)

A=matrix(nrow=4,ncol=4, c(1,2,3,4,4,3,2,1,0,1,0,2,3,0,4,0),byrow=TRUE)#Matriz A
B=matrix(nrow=4,ncol=4, c(4,3,2,1,0,3,0,4,1,2,3,4,0,1,0,2),byrow=TRUE)#Matriz B
t(B)*A#Transpuesta de (B) * A

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]    4    0    3    0
## [2,]   12    9    4    1
## [3,]    0    0    0    0
## [4,]    3    0   16    0

Inversa de (AB)

Si \(AB\) es una matriz cuadrada de dimensión \(n_{x}n\) y es regular \((determinante\not=0)\),entonces existe una matriz llamada inversa \(AB^{-1}\).

Tal que \(AB^{−1}\) es de dimensión \(n_{x}n\) y \(AB^{−1}\) es el inverso multiplicativo de \(AB\) por ambos lados es decir: \(AB \cdot AB^{-1}=I_{n}\) ,

\(AB^{-1}\cdot AB=I_{n}\), siendo \(I_{n}\)la matriz identidad de dimensión \(n_{x}n\)

\[AB =\left( \begin{array}{lcr} 7 & 19 & 11 & 29 \\ 18 & 26 & 14 & 26 \\ 0 & 5 & 0 & 8 \\ 16 & 17 & 18 & 19 \\ \end{array} \right) (AB)^{-1} =\left( \begin{array}{lcr} -1.66 & -0.65 & +4.52 & +1.52\\ +1.60 & +0.80 & -4.60 & -1.60\\ +1.02 & +0.35 & -2.84 & -0.84\\ -1.00 & -0.50 & +3.00 & +1.00\\ \end{array} \right)\]

A=matrix(nrow=4,ncol=4, c(1,2,3,4,4,3,2,1,0,1,0,2,3,0,4,0),byrow=TRUE)#Matriz A
B=matrix(nrow=4,ncol=4, c(4,3,2,1,0,3,0,4,1,2,3,4,0,1,0,2),byrow=TRUE)#Matriz B
solve(A%*%B)#Inversa de (A*B)

##       [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
## [1,] -1.66 -0.65  4.52  1.52
## [2,]  1.60  0.80 -4.60 -1.60
## [3,]  1.02  0.35 -2.84 -0.84
## [4,] -1.00 -0.50  3.00  1.00

Inversa de A x traspuesta de B

\[A^{-1} = \left( \begin{array}{lcr} -0.8 & +1.665335e-16 & +1.6 & +0.6\\ +0.8 & +4.000000e-01 & -1.8 & -0.8\\ +0.6 & -8.564578e-17 & -1.2 & -0.2\\ -0.4 & -2.000000e-01 & +1.4 & +0.4\\ \end{array} \right) (B)^{t} =\left( \begin{array}{lcr} 4 & 0 & 1 & 0\\ 3 & 3 & 2 & 1\\ 2 & 0 & 3 & 0\\ 1 & 4 & 4 & 2\\ \end{array} \right)\] \[A^{-1}\cdot B^{t}=\left( \begin{array}{lcr} +6.000000e-01 & +2.4 & +6.4 & +1.2\\ -3.330669e-16 & -2.0 & -7.0 & -1.2\\ -2.000000e-01 & -0.8 & -3.8 & -0.4\\ +1.000000e+00 & +1.0 & +5.0 & +0.6\\ \end{array} \right)\]

A=matrix(nrow=4,ncol=4, c(1,2,3,4,4,3,2,1,0,1,0,2,3,0,4,0),byrow=TRUE)#Matriz A
B=matrix(nrow=4,ncol=4, c(4,3,2,1,0,3,0,4,1,2,3,4,0,1,0,2),byrow=TRUE)#Matriz B
solve(A)%*%t(B)#Inversa de (A) x traspuesta de (B)

##               [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,]  6.000000e-01  2.4  6.4  1.2
## [2,] -3.330669e-16 -2.0 -7.0 -1.2
## [3,] -2.000000e-01 -0.8 -3.8 -0.4
## [4,]  1.000000e+00  1.0  5.0  0.6

Operaciones con Vector numérico

En matemáticas se llama vector de dimensión \(n\) a una tupla de \(n\) números reales(Componentes del vector).
El conjunto de todos los vectores de dimensión \(n\) se representa como \(\mathbb{R}^n\) (formado por el producto cartesiano), así un vector perteneciente al espacio \(\mathbb{R}^n\)se representa como: \(v=(a_{1},a_{2},a_{3}...a_{n}), \ donde\ v \in \mathbb{R}^n\)

v = c(3,1,1,7,4,3,7,1)#Vector

\(Cuadrado\ v=((x_1)^2, (x_2)^2 ...(x_8)^2)\)

v^2 # El cuadrado del vector

## [1]  9  1  1 49 16  9 49  1

\(Raíz\ v=(\sqrt(x_1), \sqrt(x_2) ...\sqrt(x_8))\)

sqrt(v) # Raiz cuadrada del vector

## [1] 1.732051 1.000000 1.000000 2.645751 2.000000 1.732051 2.645751 1.000000

\(Sumatoria\ \sum_{i=1}^{8}x_i=x_1+x_2...x_8\)

sum(v) # Suma de los elementos del vector v

## [1] 27

Operaciones con vector de cadenas

Definimos un vector \(v = nombre\ (a_1,b_2,c_3..zn)\)

nombre = c("C","A","R","L","O","S","P","R","A","D","O")#Vector nombre Completo.

Filtramos [inicio=0 : hasta=6] del índice para quedarnos con el nombre.

nombre[0:6]#Vector filtrado por nombre.

## [1] "C" "A" "R" "L" "O" "S"

Filtramos [inicio=7 : hasta=11] del índice para quedarnos con el apellido.

nombre[7:11]#Vector filtrado por apellido.

## [1] "P" "R" "A" "D" "O"

La función sort() ordena de A-Z.

sort(nombre)#Vector ordenado alfabeticamente A-Z

##  [1] "A" "A" "C" "D" "L" "O" "O" "P" "R" "R" "S"

Al faltarnos un elemento en la matriz R completa repitiendo la lista.

n_matriz=matrix(nrow=3,ncol=4,nombre)#

## Warning in matrix(nrow = 3, ncol = 4, nombre): la longitud de los datos
## [11] no es un submúltiplo o múltiplo del número de filas [3] en la matriz

n_matriz

##      [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] "C"  "L"  "P"  "D" 
## [2,] "A"  "O"  "R"  "O" 
## [3,] "R"  "S"  "A"  "C"